徒然雑記帖
総アクセス数 900000 → 煩悩を内包する数字?
昨日の始業式、在籍する544人の生徒全員が揃って始業式を執り行うことができればいいな・・・と願いつつ、1週間ほど前から一部の部活動の中で出てきたインフルエンザの広がり具合を心配していました。結局、8人が発熱や体調不良で欠席だったと教務主任から報告を受けました。3学期の第1日目に登校できずに残念だったかもしれませんが、早く平癒するようお祈りします。
さて、900000とは、本日1月10日9時57分現在の本校のHPの総アクセス件数です。
いよいよ90万台に到達しました。現在1日平均1,200件ほどのアクセスをいただいていますので、4月3日前後に予想される100万の大台に乗るまでの3ヶ月ほど「9*****」の数字が続くことになります。
ところで、生徒の皆さん、この90万という数字を見て、何か感じるところはありませんか?私はこういう綺麗な数字を見ると、無性に素因数分解をしてみたくなります。
900000=25×32×55
従ってその約数は、1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 60, 72, 75, 80, 90, 96, 100, 120, 125, 144, 150, 160, 180, 200, 225, 240, 250, ・・・(途中略)・・・, 30000, 36000, 37500, 45000, 50000, 56250, 60000, 75000, 90000, 100000, 112500, 150000, 180000, 225000, 300000, 450000, 900000
の108個です。
それぞれの約数を眺めてみると「当然ありえるよね」という数字ばかりなのですが、約数の個数108に「9」との関連で背筋が寒くなる思いがしました。
「ひょっとして約数108個って初めてじゃない?」と気になり、早速過去の記事を引っ張り出し、これまでこのサイトで扱った数について約数の個数を確認しました。
555555→ 54個(H29.4.3)、 600000→84個(H29.5.20)
666666→ 96個(H29.7.10)、700000→72個(H29.8.2)
777777→ 48個(H29.10.4)、800000→54個(H29.10.22)
888888→128個(H30.1.2)
やはり、初めてでした。
108とは除夜の鐘で衝く回数で、人が持つ煩悩の数*1とされています。
また、数字の9は苦と同音で、死を連想させる4と同様、不吉であるということで漢字文化圏では忌数(いみすう)とされています。各種施設の靴箱の9番は、人気がないのかいつも空いていたり、コインロッカーや病院では4番や4号室が欠番になっていたりするのは、皆さん方も日頃から気付いているはずです。
ということで、「苦に満ちた90万という数字は108個の煩悩を内包する数字では?」というとんでもないことを考えてしまったわけです。
早々、「煩悩」とは何か、なぜ108個あるとされるのか・・・、調べてみました。分かりやすくいうと、「煩悩」とは「嫉妬」や「強欲」みたいなもので、それに囚(とら)われると自分が苦しむことになるということのようです。でも、なぜ108個なのか、仏教の奥義に関係することで今一つ分かりませんでした。凡人は高尚なことに興味を持たないほうがいいということかもしれません。
気を取り直して、いつものように数字の並びをそのままにして、加減乗除等の記号を入れて今日にちなんだ式を作ってみます。本日1月10日は110番の適切な利用を啓発する「110番の日」*2なんだそうです。そのことに思いを致しながら110になる式を作ってみることにします。
9!!!!!!!×(0!+0!+0!)!+0!+0!=110
暫く考えて末、仰々しい式ができあがりました。
【注】 中学生の皆さんへ。”!”は「階乗」または「ファクトリアル」と読みます。例えば5!なら、5×4×3×2×1を計算して120になります。そして、0!=1は定義(決めごと)です。”!”が2つ以上つく「多重階乗」については、高校の学習範囲も超えてしまいます。しかし、そんなに難しくはないので、興味ある方は10月22日の記事「祝 総アクセス数800000件達成」をご覧ください。校長室>徒然雑記帖から入ることができます。
ちなみに9!!!!!!!は6つ飛ばしの階乗ですから、9×2で18になります。
最後に、9を話題にした楽しい計算です。
これは私が中学2年の時に気付いた式です。当時、お年玉で初めてシャープの電卓*3(蛍光管式)を買いました。楽しくて1日中色々な計算をしているうちにこのことに気付きました。
1÷9=0.111・・・
12÷99=0.121212・・・
123÷999=0.123123123・・・
1234÷9999=0.123412341234・・・
12345÷99999=0.123451234512345・・・
123456÷999999=0.123456123456123456・・・
さて、このパターンはどこまで続くでしょう?
ちなみに、123456789÷999999999の次は?
手元の電卓で確かめてください。といっても表示可能桁数の関係で無理かもしれません・・・。9(苦)が一杯で滅入るかもしれませんが、なぜこんなことになるのか秘密に迫ってみるのも一興です。
このような循環小数(repeating decimal)を分数に変換する方法を高校の数学で学んで「なぁ~んだ」と思ったのですが、被除数(割られる数)と同じ桁数の9の連続数で割るとこういう現象が起こることに気付いた時の驚きを今でも懐かしく思い出します。
【校長】
*1 煩悩の内容について、次のような説明を読んだことがあります。
まず、般若心経にも出てくるように、人間には迷いを起こさせる6根と呼ばれる感覚がある。すなわち眼・耳・鼻・舌・身・意。これがそのまま6つの煩悩になる。さらにその6つの煩悩にそれぞれ「好(気持ちがよい)」「悪(不快)」「平(どちらでもない)」の3つの状態がある。6×3=18で、この18の煩悩にさらに「浄(綺麗)」と「不浄(汚い)」という状態が加わる。18×2=36さらに36の煩悩に「過去」「現在」「未来」の3つの時間の状態がある36×3=108これで煩悩108個、ということらしい。分かったような、分からないような??
その他、お釈迦様が説く「四苦八苦」という言葉から、四苦(4×9=36)と八苦(8×9=72)を足して108の煩悩があるという説、1年における月の数(12)と二十四節気(24)と七十二候(72)を足した数という説、色々あるようです。
さらには、そもそも108の数そのものに深い意味はないということでしょうか、次のような説もあるようです。昔から日本では「たくさんの」という意味で8を使っていました。例えば、八百万神(やおろずのかみ)も実際に八百万の神様がいるわけではなく、それくらい無限にいるという意味です。このことから、煩悩の数が108といわれるのも、本当に108個あるわけではなく、たくさんの数という意味で実際、除夜の鐘を200回近く衝くお寺もあるそうです。
ところで、源氏物語は全部で54のストーリーからなることは国語で習ったとおりです。愛執ゆえの嫉妬こそ煩悩の源であることを描き尽くしたこの物語が、108の丁度半分の54帖で終わっていることに何かしら意図的なものを感じます。そういえば、私の持っている数珠(じゅず)は54玉です。
*2 全国の警察で110番の適切な利用を呼びかけるキャンペーンが行われているようです。朝からのテレビで「携帯なくしたから一緒に探して」とか「ファミレスの店員さんが帽子をかぶってなく不潔だから注意して」など、不適切な通報や無言電話などのいたずらが全部で4割近くもあると耳にし、とても驚きました。
*3 当時、こんな楽しいCMがテレビでよく流れていました。
「とかくこの世は計算さ 数と数とのからみあい、足してもダメなら引いてミニかけてもダメなら割ってミニ、こたぁーえいっぱぁつう! カシオミニ♪」
総アクセス数888888 → 元旦早々末広がりのぞろ目
生徒の皆さん、昨日の元旦の日、いかがお過ごしでしたか?
開運を招くお正月の過ごし方は、家で家族などと「ゆっくりと過ごす」ことなんだそうです。また、今では小学校の宿題でしかやらなさそうな「書き初め」も、新年の抱負や目標を墨でしたためることそのものが神様への誓いでもあり、立派な開運行動だとお参りに向かったクルマの中のラジオで聞きました。
私もこたつの中でゆっくり過ごしています。昨日、
何気にスマホで本校のHPをあけてみました。888888とは、昨日1月1日19時17分現在の本校のHPの総アクセス件数です。
元旦早々、末広がりの8のぞろ目*1で何と縁起がいいんだろうと驚いたところでした。
こういう綺麗な数字を見ると、皆さんはどういう心境になりますか?
電子回路に強い人だったら、7セグメントLED(右写真)で8を6つ点灯させる回路図をパッと思い浮かべるかもしれません。
私はというと、数字の並びをそのままにして、加減乗除等の記号を入れてみたくなります。本校が恙(つつが)ない平穏な1年であってほしいという願いを込めて、昨日の日付である11を作ってみることにします。
8×(8-8)+88÷8=11
シンプルな式があっという間にできあがりました。加減乗除全ての演算記号を1回ずつ入っていて何となく気分がいいです。888*2
ところで、888888を素因数分解すると、23×3×7×11×13×37ですから、約数は、1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 21, 22, 24, 26, 28, 33, 37, 39, 42, 44, 52, 56, 66, 74, 77, 78, 84, 88, 91, 104, 111, 132, 143, 148, 154, 156, 168, 182, 222, 231, 259, 264, 273, 286, 296, 308, 312, 364, 407, 429, 444, 462, 481, 518, 546, 572, 616, 728, 777, 814, 858, 888, 924,・・・(途中略)・・・, 31746, 34188, 37037, 40404, 42328, 63492, 68376, 74074, 80808, 111111, 126984, 148148, 222222, 296296, 444444, 888888の128個です。
8のぞろ目の6桁の整数ですから、88や888で割り切れることは一目瞭然ですが、一見割れそうに見えない77や777で割り切れることは素因数分解するまで見破れず、とても意外な感じがしたところでした。
最後に、8のぞろ目を話題にした楽しい計算を2つご紹介します。
まず、これを計算して規則性をみつけてください。
(8×8)+13=
(8×88)+13=
(8×888)+13=
(8×8888)+13=
(8×88888)+13=
(8×888888)+13=
(8×8888888)+13=
さて、このパターンはどこまで続くでしょう?手元の電卓で確かめてください。といっても最大10桁表示でしょうからあと2つしか試し算できないのかもしれませんが・・・。なぜこんなことになるのか秘密に迫ってみるのも一興です。
次の式も超有名で、第172回数学検定準2級でも出題されています。
9×9+7=88
98×9+6=888
987×9+5=8888
9876×9+4=88888
98765×9+3=888888
987654×9+2=8888888
9876543×9+1=88888888
98765432×9+0=888888888
この次に来る数式を書きなさい。
ちなみに準2級は高校1年程度です。数学検定は、本校では受検の実績がないようですが、前任校では数学科が受検希望者に指導をしていました。
1級(大学・一般程度)・準1級(高3程度)・2級(高2程度)のいずれかに合格すると、この検定の問題を作成でき、採用された場合は作成料が作問者に支払われます。全国規模の検定試験の出題者になれるというのは凄い経験だと思います。また、高等学校卒業程度認定試験の必修科目「数学」が免除されますが、これは直接関係ないかもしれません。皆さん、受検してみませんか?
話が横道に逸れましたが、答は勿論大丈夫ですよね。正解は、
987654321×9-1=8888888888 です。
工業高校に学ぶ生徒の皆さん方にとって、数学は将来道具として使いこなしていかない大事な科目です。その意味で数字とはこの先も縁が切れないはずです。そのような皆さん方に、数字を見る目や数的処理のセンスが高まるようにとの願いを込めて、今年もこのサイトを充実していくつもりです。どうぞ宜しくお願いします。
【校長】
*18のぞろ目といえば・・・こんなナンバーのクルマが初詣に行った先の駐車場で、私のクルマの前に駐車していました。桁数が3分の2とはいえ、今日の話題との偶然の一致に一瞬おののきました。
*2888は、ネットの世界でパチパチパチ(拍手)を意味すると聞いたことがあります。自画自賛?
何かしらワクワクする「2018」
明けましておめでとうございます。
今年も本校のHPをどうぞ宜しくお願いします。
皆様には希望に満ちたいい新年をお迎えになっておられることと思います。
私はというと、学校に通う子がいた頃は、元日の朝は(子どもたちの手前)それなりの緊張感があったように記憶しています。でも、みんな巣立ってしまった今、特に大きな感慨もなく8日後に迫った始業式で何を語りかけようかと、こたつの中でとりとめもなく考えています。
とはいうものの、これから1年間お世話になる新年号の2018という数字には何かしらワクワクするものがあります。
2018は、昨年の2017と違い素数*1ではありません。とりあえず素因数分解してみます。偶数ですから2で割れます。
2018 = 2×1009
いきなり、1009という見慣れない数字が出てきました。各位の和は10なので3では割れませんし、暗算すれば7や9でも割れないことに気付きます。素数っぽい香りがプンプンします。しかし、これが素数とすぐに見破ることができる人は少ないと思います。でも実は1009は素数です。ということで、
2018 = 2×1009
でおしまい。従って、約数は1、2、1009、2018の4つしかありません。数学の世界では、4つしか約数がないもの、つまり素因数分解して素数が2個しか出てこない数は、ちょっと特殊な数の仲間に入ります。
調べてみると、一つ前は2005(=5×401)で13年ぶり、一つ後は何と来年2019(=3×673)です。
話は変わりますが、2018は面白い性質を持っていることが、整数論の世界では知られています。それは2つの素数の2乗の和になるということです。分かりやすく表現すると
2018=□2+△2
と書けるということです。是非、□と△に入る数*2を探してみてください。試行錯誤しつつ、ワクワクしながら結構楽しめるはずです。
ちなみに、この一つ前は1970で
1970=112+432 又は 1970=172+412
であり、一つ後は
2042=192+412
となります。従って、2018年は2つの素数の2乗の和であり、このような年は70年間で今年だけ!レアな年という意味で何となくワクワクします。
暇つぶしのついでに、今年の素数日も調べてみました。
素数日とは、2018年1月23日を20180123のように8桁で表すと素数になる日です。ネット上の「素数一覧」のサイトから拾い出した今年の素数日は次の18日ありました。
20180123、20180213、20180221、20180311、20180327、
20180509、20180609、20180621、20180627、20180707、
20180731、20180801、20180807、20181019、20181121、
20181209、20181223、20181229
よく見ると、7月31日と8月1日は連続素数日になっています!
連続素数日の出現頻度について、素数愛好家の研究によると、18世紀から22世紀まで、すなわち1801年から2200年までの400年で52組あるのだそうです。400年間で52組だから、平均すれば7.7年に1回起きる計算になります。それが今年起きるということで、半年以上先のことですが、なんだかワクワクします。
じゃ~あ和暦(平成30年)ではどうなんだ?と、考えるのは自然なことです。30****のような6桁表示の素数日は次のとおりでした。
300109、300119、300221、300301、300317、300319
300323、300331、300413、300427、300511、300623
300719、300721、300809、300821、300823、300929
301013、301027、301123、301127、301211、301219
こちらも全部で24日あります。ただ、2月21日は、何の因縁か西暦、和暦共に素数日です。連続素数日こそありませんでしたが、ますますワクワクしてきました。
ワクワクすると言えば、今年最初の満月が明日1月2日で、2018年中では最も大きく見える「スーパームーン」とニュースで報じていました。
それによると、「月の軌道は楕円で、そのため月と地球の距離が変化する。最も近いときと遠いときの差は最大で約4万8000kmある。月が地球に最も近づくのが近地点で、最も遠ざかるのが遠地点。近地点のタイミングで満月や新月を迎えると『スーパームーン』と呼ばれる」のだとか。
日没の頃、東の空を仰いで、今年初の満月に新年の願いを託してみてはいかがでしょうか。
最後に、本原稿は下の注釈文も合わせて全部で2018文字です。
【校長】
*1 もう何度も素数について取り上げていますが、年の初めですので、その定義をおさらいしておきます。素数とは2、3、5、7、11、13、・・・のように1と自分自身以外では割り切れない数です。
最近、「世界は素数でできている」(角川新書 小島寛之著)という本を読みました。その本の序文にうまい説明があったので引用してご紹介します。
素数とは、「割り切れない」数です。どのくらい割り切れないかというと、1と自分自身以外では割り切れないのです。だから、ある意味では、うとましい数です。例えば、37個のチョコがあるとしましょう。このチョコを同数で分け合うためには、37人で1個ずつ分け合うか、あるいは、1人で全部食べるしかありません。37が素数だからです。まったく融通がききません。チョコの個数が36個であれば、たくさんの柔軟性が生まれます。2人でも3人でも4人でも6人でも、あるいは12人でも18人でも等分に分け合うことができるからです。
*2 答 ○=13、△=43 又は○=43、△=13
今年もあと10日、2017を振り返る2話
3年生のあるクラス、2学期最後の数学の授業でa+biの計算をやっているのが廊下の窓越しに見えました。「想像上の数」を意味するimaginary number の頭文字iをとった虚数*1、まさにこの世に存在しない数です。高校の時にこの数に初めて触れた時のことを思い出しました。
そこで、今日、今年最後の掃除で校長室に来た機械科3年の生徒たちに、虚数についてのイメージや何のために複素数*2を学ぶと思うか尋ねてみました。「実在しない数をなんで勉強するの?」とか「どうせ将来使わないでしょ?」といった回答を期待して、話を深めていきたかったからです。
しかし、うまく真意が伝わらなかったのか、それとも突然ヘンな話題を振られてドギマギしたのか分かりませんが、虚数がこの世に存在しない数だということを理解していた人は確かにいたものの、今ひとつパッとしない感じの回答でした。あまりしつこく聞くと、最近はやりのマスハラ(mathematical harassment :数学の証明を強要するなどして精神的な苦痛を与えること。たぶん)と言われかねませんので、クリスマスの楽しい話題*3に変えました。
前任校で数学の初任者研修会が開催されたことがあります。研究授業後の合評会で、多くの先生方が「数学の良さや楽しさ、数学が日常生活でどのように役立つのかを実感させることを心がけています」と仰っていました。しかし、学力差が激しいとされる数学の実際の授業の中では、「虚数単位『i』は、2乗すると-1になるという独特の計算ルールがあるだけで、それ以外はa,b,cのような普通の文字と同じように計算をすればいいですよ・・・」と指導するのが精一杯で、その数学的意義まで実感できるように指導することは難しいのではないかと思います。
よく、「交流回路の計算で使われる」という話が紹介されますが、具体的に計算式を示すには、まず電気についての説明が必要になります。改めてこの数を高校数学で取り扱うことの難しさを感じたところでした。
私自身は、高校1年の時に初めて虚数に出会いました。どういうストーリーの中でこの数が出てきたのかはっきり覚えていませんが、多分「2次方程式は、解を持つ場合と持たない場合がある。この2次方程式は実数解を持たない。でも、『解なし』じゃ困る。どうしても解がほしい。という中で、無理矢理『2乗すると-1になる数』を考えて解いてみましょう・・・」といった流れで学んだはずです。「何なのそれは?」と反応したかどうかも今では思い出せません。当時は今ほど数字に関する感性はなかったのだと思います。
数学史の本によると、虚数という言葉を初めて書物に書いたのは、「我思う、故に我あり」で有名なデカルト(1596~1650:フランスの哲学者・数学者)とされています。虚数が発見されてから数百年間は「詭弁(きべん)的な数字であり、実用性はない」「ただの想像上の数に過ぎない」と否定的に評価されていたそうです。ですが、オイラーの等式*4で有名なレオンハルト・オイラー(1707~1783:ロシアで活躍したスイス生まれの数学者・物理学者)が虚数のもつ重要性を解き明かした後、その評価は一変したようです。さらに研究が進むにつれ、その存在を仮定して計算に使ってみたら非常に便利であることが分かり、数学者の間で広く使われるようになったとありました。
ということで、数学者の方々にとっては非常に便利な数なんだそうです。でも、虚数が文字通り「虚(むな)しい数」にならないためにも、高校生の皆さん方にどのように有意義なのかということを示さなければならないとやはり思うのです。
そういう思いで、数学は何のために学ぶのかということをテーマにした様々な本に私自身目を通しているわけですが、ある本に次のようなとても興味深い記述があるのを見つけました。
「東に3im進むということは北に3m進むということ? ~ iをかけると90度回転 ~」というタイトルの下、ざっと次のようなことが書いてありました。
私たちは中学校の数学で負の数(マイナス)を導入することにより、「西に3m進む」ことを「東に-3m進む」と表現することができるようになりました。
では、北に進むことを東に進むことを使って表現できないものでしょうか。
今、横軸が実数部分、縦軸が虚数部分を表す「複素平面」と呼ばれる平面を考えてみましょう。その平面上で「4+2i」の表す座標と、「4+2i」にiをかけた (4+2i)×i =-2+4i 即ち「-2+4i」が表す座標を比べてみましょう。
iをかけた後の点Bは、iをかける前の点Aを「原点を中心に反時計回りに90度回転させた」座標にあることがお分かりだと思います。
・・・・・・略・・・・・・
そういうことで、虚数iを導入することにより、「北に3m進む」ことを「東に3im進む」と表現することができるようになります。
このような説明を虚数について初めて学んだ高校1年の時に受けていれば、幽霊みたいなこの数もきちんと居場所ができて、よりとっつきやすく楽しく学べたのではないかと思っています。
前置きが随分長くなりました。それでは本題です。
「2017を振り返る」 第1話
3年生の皆さん、習ったばっかりの複素数の計算です。長い前置きもそのためのものだったわけですが、次の計算をしてみてください。
(44+9i)(44–9i)=【 】
2017になれば正解です。
ちなみに掃除に来ていた生徒たちにもこの計算に挑戦してもらいました。6人全員ができてホッとしました。
2017は素数であり、素因数分解はできませんが、このように複素数の範囲まで拡張すれば「素元分解」ができます。ちなみに、和暦の平成29年も次のように
29=(5+2i)(5–2i)
分解できます。
今年は、西暦も和暦も素数で、6年ぶりのダブル素数ということで、年明け頃、素数ファンは大いに盛り上がっていましたが、「素数は素因数分解できないからつまんない・・・」なんていう声もチラホラ聞こえていました。しかし、4k+1型の素数はこのような形に分解できるのです。
このことについては、5月11日の徒然雑記帳でも既に紹介していますが、あえて複素数の計算を習った直後の皆さん方に、この式を計算してもらい、行く年2017を偲んで欲しいと思い、再び話題にしました。
「2017を振り返る」 第2話
右の年賀状は、今年の初め、日本数学検定協会から前任校に届いていたものです。2017をテーマとした面白い作問です。当時の生徒たちとかなり盛り上った思い出があります。
皆さん、答は分かりますか?
「1つとって」と指示してありますが、それを無視してとりあえず全部の和を計算してみましょう。
13+23+33+43+53+63+73+83+93
=1+8+27+64+125+216+343+512+729
=2025 ・・・①
総和を2017にしたいわけですから、
2025-2017=8=23
よって、とり除くのは23です。
簡単な問題ですが、これは足し算が全部で9項しかないので、このように実際に計算しても手間はたいしてかかりませんが、項数が多くなると大変です。
そこで数列の和を求める公式の登場です。
シラバスによると、本校では数列は習っていないようですが、右のように代表的な3つの公式はそんなに難しい形をしていません。3乗和の公式(上から3つめの公式)を使えば、第9項目までの和ですから、nに9を代入して、①の2025は次のように一発で出ます。
{(1/2)×9×(9+1)}2=452=2025
それでは皆様、Merry Christmas!
【校長】
※1,※2 この記事をお読みの中学生の皆さん方は、「虚数」とか「複素数」は初めて耳にする用語かもしれません。複素数は、皆さんが普段使っている「1」や「3」といった実数と「i」や「5i」といった虚数を組み合わせたもので、「-4+6i」や「5-12i」のように「〇+△i」で表すことができる数を指します。虚数が現実に存在しない数なので、虚数を含んでいる複素数も現実には存在しない数です。
※3 思い出のクリスマスプレゼントを聞きました。朝起きたら、綺麗にラッピングされた算数の問題集が枕元に置いてあったと・・・某君が。驚きました。毒サンタですね。
※4 オイラーの公式とは次の公式です。 ei x=cosx+ isinx
実数の世界では全くの無関係のように思われていた指数関数と三角関数が、複素数の世界では親戚どころか兄弟であったことを意味する重要な式です。大学の工学部や理学部等に進学すると数学で学びます。今の段階ではこんな式があるんだ・・・という理解で十分です。
電気、電波そして物質を構成する電子なども含めて、自然界は波や振動で溢れています。この波や振動現象を調べるためには、三角関数が必要不可欠です。オイラーの公式は、三角関数と指数関数が、虚数・複素数を通じて表裏一体の関係にあることを示しており、この公式を使用すれば、波動・振動現象に関して明確な答えを出すことができます。ちなみに、eはネイピアの数と呼ばれ、e = 2.718281828・・・の値を持ちます。
多くの数学者がこの公式を「人類の至宝」「人類史に残る不朽の名作」となどと表現しています。ちなみに、2004年に第1回本屋大賞を受賞した小川洋子著の小説「博士の愛した数式」(映画化もされました。本校の図書館にあります)の中では、θ=πのときのeiπ = − 1、即ちeiπ +1= 0という形で、博士が数学の中で最も美しい公式として愛していたという設定で登場します。
確かに、解析学・代数学・幾何学という異なる分野において定義された全く起源の異なる3つの数「e, i ,π」が、「1」と「0」という数学の基礎となる数とシンプルな1つの式で結び付けられており、式の意味はよく分からなくてもその美しさに感動します。
総アクセス数 874123 → 電卓のミステリー
今日はクラスマッチが行われました。3年生にとっては、高校生活最後のクラスマッチです。その思いがプレーに表れていたのか、懸命にボールを追いかける姿が印象的でした。
1,2年生は、今回のクラスマッチでさらに絆を強めた各学級の力を今後の授業や学校行事に生かし、さらに学年、学校全体の団結力へと高めてほしいと思います。
さて、いくつかの試合を応援後、校長室に戻り、HPを開いたら午前10時58分現在の総アクセス数が874123。
この数字って、何か見覚えがある数字だな・・・!?、何だったかな・・・??と考えていたら、思い出しました。
生徒の皆さんは分かりますか?
ヒントは、電卓で数字を入力するキー(テンキー)です。計算技術検定は勿論、専門の授業でいつもお世話になっている電卓ですが、その配列をさっと頭にイメージできますか? 実は、874123とは、右の写真のように5を中心として8から反時計回りに回ったキーの配列です。
なぜこの数字に閃くものがあったかというと、テンキーの配列を使って面白い計算があったこと思いだしたからです。
私は教壇に立っていた頃、授業が早く終わって時間を持て余したときなど、電卓を出してごらんとか言いながら、次のように語りかけて計算をさせていました。
電卓のキーは5を中心に8個の数字が正方形の四辺の形状に並んでいます。
これを左右どちら回りでも、どこから始めてもかまいません。
3桁ずつしりとり式に足し算してください。
答えは全部2220です。
例
123+369+987+741=2220
896+632+214+478=2220
412+236+698+874=2220
生徒「わぁ!」
では、辺の角の数(7、1、3、9)を3桁ずつ足し算してみましょう。
結果は2220です。
777+111+333+999=2220
生徒「えええ?」
では、辺の真ん中の数(2、6、8、4)を3桁ずつ足し算してみましょう。
結果はやはり2220です。
222+666+888+444=2220
生徒「何で~?」
じゃあ、対角線の3つの数字を3桁の数として、4つの数を足し算してみてください。どうでしょうか。またもや2220になりました。
159+357+951+753=2220
生徒「すげえ!!」
こういうこともしてみましょう。十字の3つの数字を3桁の数として、4つの数を足し算します。なんとこれも2220です。
258+654+852+456=2220
生徒「わおおお!」
どうやら電卓のテンキーの配列にはミステリーがあるみたいですね。
最後に、次の計算をしてみましょう。今度も始点、時計回り、反時計回りは問いませんので、5を中心にしてまわりの数を3つずつ数えていき、しりとり式で
(3つの数)―(3つの数)+(3つの数)―(3つの数)
という式の中に数を入れてみてください。この計算すると今度は、必ず0になります。
例
874-412+236-698=0
147-789+963-321=0
生徒:「うそおおお!すげえ!!」
今、この記事をお読みの生徒の皆さんはこのミステリーを知っていましたか?ぜひ、電卓を片手に「ぐるっと一回り」・「角」・「辺の真ん中」・「対角線」・「十字」の足し算、そして(3つの数)―(3つの数)+(3つの数)―(3つの数)を実際にして確かめてみてください。
できれば、式を紙に書いてこのミステリーに迫りましょう。これらの証明*は中学生の皆さんでもできるはずです。
【校長】
※ まず全ての足し算が2220になる理由です。紙に書いた計算をもとに、そのミステリーに迫ってみます。
略証
よ~く足し算の内容を見てみましょう。
集約すると
(1+3+7+9)×100+(2+4+6+8)×10+(1+3+7+9)
と
(2+4+6+8)×100+(1+3+7+9)×10+(2+4+6+8)
の2パターンしかないことに気付くはずです。
で、(1+3+7+9)も(2+4+6+8)も「=20」ですから、
結局、
20×100+20×10+20=20(100+10+1)=20×111=2220
となります。
次に(3つの数)―(3つの数)+(3つの数)―(3つの数)が0になる理由です。これも紙に書いた計算をもとに、その謎に迫りましょう。
略証
何でもいいですが、例えば 963-321+147-789 という数で考えてみましょう。
ここで注目するのは、百の位の数、十の位の数、そして一の位の数です。
百の位の数、十の位の数、一の位の数に注目して計算していくと、
900-300+100-700=0
60-20+40-80=0
3-1+7-9=0
となり、それぞれの数を足すとどれも0になります。
では、412-236+698-874という数でもそれぞれの位に注目して確かめます。
400-200+600-800=0
10-30+90-70=0
2-6+8-4=0
となり、やはりどの位の計算も0となります。
つまり、5を中心にして3つずつ数を選んでいき、
(3つの数)-(3つの数)+(3つの数)-(3つの数)
という式の中に入れると、百の位、十の位、一の位ともすべて0となる組み合わせに自動的になるのです。
まだ納得できない!という方もいるかもしれません。では、もっときちんと証明してみます。計算は中学校の数学程度ですから中学生の皆さんもついてこれるはずです。
電卓のどこの数をxにしてもいいですが、例えば2をxと置きます。そうすると、他のキーの数はそれぞれ右の写真に示すように表すことができます。
123-369+987-741を例にやってみます。
x-1を始点に3つずつ数を数えていくと、
{100(x-1)+10x+x+1}-{100(x+1)+10(x+4)+x+7}+
100(x+7)+10(x+6)+x+5-{100(x+5)+10(x+2)+(x-1)}
=100x-100+10x+x+1-100x-100-10x-40-x-7+100x+700+10x+60+x+5-100x-500-10x-20-x+1
=-100+x+1-100-40-x-7+700+60+x+5-500-20-x+1
=-100+1-100-40-7+700+60+5-500-20+1
=-200+700-500
=0
となり、めでたく0になりました!
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