「校長室より」のサイトでは、ＨＰの総アクセス数が節目の数を迎えるたびに、その数を素因数分解するなどして、その数に関する話を深めてきました。

例えば１月１０日の９０００００を取り扱った記事では、

900000＝2⁵×3²×5⁵

従ってその約数は、1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 32, 36,40, 45, 48, 50, 60, 72, 75, 80, 90, 96, 100, 120, 125, 144, 150, 160, 180, 200,225, 240, 250, ･･･（途中略）･･･, 30000, 36000, 37500, 45000,50000, 56250, 60000, 75000, 90000, 100000, 112500, 150000, 180000, 225000,300000, 450000, 900000 

の108個です。

と書いていました。しかし、これまでこの記事の中で約数の個数の”求め方”について触れたことはありません。中学校の数学で学習して当然知っているものとばかり思っていましたので。

ですから、１月１４日行われた大学入試センター試験の「数学Ⅰ・数学Ａ」の第４問の（１）に次のような問題を見つけて驚いたところです。

１４４を素因数分解すると

　　　　　１４４＝２^ア×イ　^ウ　

であり、１４４の正の約数の個数はエオ個である。

慌てて数学の先生に確認したら、「約数の個数については高校の数学Ａで学習している」ということでした。私は以前、中学入試で関連問題が出題されているのを見たことがあり、小学生でも知っていることかと誤認識していました。

生徒の皆さんは、「素因数分解して指数を見れば約数の個数が分かる」ということを知っていましたか？公式風にまとめると次のとおりです。

正の整数nが　n ＝p_１^{a 1}・p_２^{a 2}・・・p_ｋ^aｋ

と素因数分解できるとき、

nの約数の個数は　(a₁＋1)・(a₂＋1)・・・(a_k＋1)　個である。

例えば、１２ は２^２×３と素因数分解できるので、約数の個数は

(2+1)×(1+1)＝３×２＝6

で６個となります。

センター試験の問題なら、１４４を素因数分解すると

１４４＝２^４×３^２

ですから、約数の個数は、

(４+１)×(２+１)＝５×３＝１５

　で１５個となります。

従って、正解は、ア：４、イ：３、ウ：２、エオ：１５　です。簡単な問題で、ほとんどサービス問題といってもいいかもしれません。

ところが、この問題を通して面白い議論をすることができます。

前回の記事の中で、「過去の記事を引っ張り出し、これまでこのサイトで扱った数について約数の個数を確認しました」とあり、次のように取り上げました。

555555→　54個（H29.4.3）、 600000→84個（H29.5.20）

666666→　96個（H29.7.10）、700000→72個（H29.8.2）

777777→　48個（H29.10.4）、800000→54個（H29.10.22）

888888→128個（H30.1.2）

皆さん、この約数の個数を見て、ある特徴に気付きませんか？

そうです･･･。全部偶数個なんです。

では、約数の個数が奇数になるのはどんなときでしょう。実は･･･

正の整数nについて、

nが平方数⟺ nの約数の個数は奇数

が成立します。「⟺」の記号は、論理学で同値を意味し、「pならばq」と「qならばp」が同時に成り立つとき、pとqは「同値」といい、p⟺qと表します。詳しいことは数学で学習しますので証明等は割愛しますが、「平方数のときに、約数の個数が奇数になる」ことは知っておくべきことだと思います。

センター試験で出題されていた１４４は１２^２で平方数です。そういえば、平方数である４（２^２）は、１，２，４の３つ（奇数個）の約数を持っています。

センター試験が終わって、いよいよ二次試験です。現役生にとっては、人生で初めての体験をしているわけで、不安やプレッシャーは大きいことでしょう。どこかの予備校のＣＭではありませんが、「苦しいときが伸びるとき」これは確かに言えています。本校にもセンター試験を受けた生徒がいます。

「最後の一日まで伸びる」、この言葉を信じて頑張ってください。

【校長】

昨日の始業式、在籍する５４４人の生徒全員が揃って始業式を執り行うことができればいいな･･･と願いつつ、１週間ほど前から一部の部活動の中で出てきたインフルエンザの広がり具合を心配していました。結局、８人が発熱や体調不良で欠席だったと教務主任から報告を受けました。３学期の第1日目に登校できずに残念だったかもしれませんが、早く平癒するようお祈りします。

さて、９０００００とは、本日１月１０日９時５７分現在の本校のＨＰの総アクセス件数です。

いよいよ９０万台に到達しました。現在１日平均１,２００件ほどのアクセスをいただいていますので、４月３日前後に予想される１００万の大台に乗るまでの３ヶ月ほど「９＊＊＊＊＊」の数字が続くことになります。

　 ところで、生徒の皆さん、この９０万という数字を見て、何か感じるところはありませんか？私はこういう綺麗な数字を見ると、無性に素因数分解をしてみたくなります。

        900000＝2⁵×3²×5⁵

従ってその約数は、1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 60, 72, 75, 80, 90, 96, 100, 120, 125, 144, 150, 160, 180, 200, 225, 240, 250, ･･･（途中略）･･･, 30000, 36000, 37500, 45000, 50000, 56250, 60000, 75000, 90000, 100000, 112500, 150000, 180000, 225000, 300000, 450000, 900000 

の１０８個です。

 　それぞれの約数を眺めてみると「当然ありえるよね」という数字ばかりなのですが、約数の個数１０８に「９」との関連で背筋が寒くなる思いがしました。

「ひょっとして約数１０８個って初めてじゃない？」と気になり、早速過去の記事を引っ張り出し、これまでこのサイトで扱った数について約数の個数を確認しました。

555555→　54個（H29.4.3）、 600000→84個（H29.5.20）

666666→　96個（H29.7.10）、700000→72個（H29.8.2）

777777→　48個（H29.10.4）、800000→54個（H29.10.22）

888888→128個（H30.1.2）

やはり、初めてでした。

１０８とは除夜の鐘で衝く回数で、人が持つ煩悩の数^＊1とされています。

また、数字の９は苦と同音で、死を連想させる４と同様、不吉であるということで漢字文化圏では忌数（いみすう）とされています。各種施設の靴箱の９番は、人気がないのかいつも空いていたり、コインロッカーや病院では４番や４号室が欠番になっていたりするのは、皆さん方も日頃から気付いているはずです。

ということで、「苦に満ちた９０万という数字は１０８個の煩悩を内包する数字では？」というとんでもないことを考えてしまったわけです。

早々、「煩悩」とは何か、なぜ１０８個あるとされるのか･･･、調べてみました。分かりやすくいうと、「煩悩」とは「嫉妬」や「強欲」みたいなもので、それに囚（とら）われると自分が苦しむことになるということのようです。でも、なぜ１０８個なのか、仏教の奥義に関係することで今一つ分かりませんでした。凡人は高尚なことに興味を持たないほうがいいということかもしれません。

　 気を取り直して、いつものように数字の並びをそのままにして、加減乗除等の記号を入れて今日にちなんだ式を作ってみます。本日１月１０日は１１０番の適切な利用を啓発する「１１０番の日」^＊2なんだそうです。そのことに思いを致しながら１１０になる式を作ってみることにします。

          ９！！！！！！！×（０！＋０！＋０！）！＋０！＋０！＝１１０

暫く考えて末、仰々しい式ができあがりました。

【注】　中学生の皆さんへ。”！”は「階乗」または「ﾌｧｸﾄﾘｱﾙ」と読みます。例えば５！なら、５×４×３×２×１を計算して１２０になります。そして、０！＝１は定義（決めごと）です。”！”が２つ以上つく「多重階乗」については、高校の学習範囲も超えてしまいます。しかし、そんなに難しくはないので、興味ある方は１０月２２日の記事「祝　総アクセス数８０００００件達成」をご覧ください。校長室＞徒然雑記帖から入ることができます。

ちなみに９！！！！！！！は６つ飛ばしの階乗ですから、９×２で１８になります。

最後に、９を話題にした楽しい計算です。

これは私が中学２年の時に気付いた式です。当時、お年玉で初めてシャープの電卓^＊3（蛍光管式）を買いました。楽しくて１日中色々な計算をしているうちにこのことに気付きました。

      1÷9＝0.111･･･

12÷99＝0.121212･･･

123÷999＝0.123123123･･･

1234÷9999＝0.123412341234･･･

12345÷99999＝0.123451234512345･･･

123456÷999999＝0.123456123456123456･･･

さて、このパターンはどこまで続くでしょう？

ちなみに、123456789÷999999999の次は？

手元の電卓で確かめてください。といっても表示可能桁数の関係で無理かもしれません･･･。９（苦）が一杯で滅入るかもしれませんが、なぜこんなことになるのか秘密に迫ってみるのも一興です。

このような循環小数（repeating decimal）を分数に変換する方法を高校の数学で学んで「なぁ～んだ」と思ったのですが、被除数（割られる数）と同じ桁数の９の連続数で割るとこういう現象が起こることに気付いた時の驚きを今でも懐かしく思い出します。

【校長】

^＊1煩悩の内容について、次のような説明を読んだことがあります。

まず、般若心経にも出てくるように、人間には迷いを起こさせる６根と呼ばれる感覚がある。すなわち眼・耳・鼻・舌・身・意。これがそのまま６つの煩悩になる。さらにその６つの煩悩にそれぞれ「好（気持ちがよい）」「悪（不快）」「平（どちらでもない）」の３つの状態がある。6×3＝18で、この１８の煩悩にさらに「浄（綺麗）」と「不浄（汚い）」という状態が加わる。18×2＝36さらに３６の煩悩に「過去」「現在」「未来」の３つの時間の状態がある36×3＝108これで煩悩１０８個、ということらしい。分かったような、分からないような？？

その他、お釈迦様が説く「四苦八苦」という言葉から、四苦（4×9＝36）と八苦（8×9＝72）を足して１０８の煩悩があるという説、１年における月の数（12）と二十四節気（24）と七十二候（72）を足した数という説、色々あるようです。

さらには、そもそも１０８の数そのものに深い意味はないということでしょうか、次のような説もあるようです。昔から日本では「たくさんの」という意味で８を使っていました。例えば、八百万神（やおろずのかみ）も実際に八百万の神様がいるわけではなく、それくらい無限にいるという意味です。このことから、煩悩の数が１０８といわれるのも、本当に１０８個あるわけではなく、たくさんの数という意味で実際、除夜の鐘を２００回近く衝くお寺もあるそうです。

ところで、源氏物語は全部で５４のストーリーからなることは国語で習ったとおりです。愛執ゆえの嫉妬こそ煩悩の源であることを描き尽くしたこの物語が、１０８の丁度半分の５４帖で終わっていることに何かしら意図的なものを感じます。そういえば、私の持っている数珠（じゅず）は５４玉です。

^＊2全国の警察で１１０番の適切な利用を呼びかけるキャンペーンが行われているようです。朝からのテレビで「携帯なくしたから一緒に探して」とか「ファミレスの店員さんが帽子をかぶってなく不潔だから注意して」など、不適切な通報や無言電話などのいたずらが全部で４割近くもあると耳にし、とても驚きました。

^＊3当時、こんな楽しいＣＭがテレビでよく流れていました。

「とかくこの世は計算さ 数と数とのからみあい、足してもダメなら引いてミニかけてもダメなら割ってミニ、こたぁーえいっぱぁつう！ カシオミニ♪」

生徒の皆さん、昨日の元旦の日、いかがお過ごしでしたか？

開運を招くお正月の過ごし方は、家で家族などと「ゆっくりと過ごす」ことなんだそうです。また、今では小学校の宿題でしかやらなさそうな「書き初め」も、新年の抱負や目標を墨でしたためることそのものが神様への誓いでもあり、立派な開運行動だとお参りに向かったクルマの中のラジオで聞きました。

私もこたつの中でゆっくり過ごしています。昨日、
何気にスマホで本校のHPをあけてみました。８８８８８８とは、昨日１月１日１９時１７分現在の本校のＨＰの総アクセス件数です。

元旦早々、末広がりの８のぞろ目^＊1で何と縁起がいいんだろうと驚いたところでした。

こういう綺麗な数字を見ると、皆さんはどういう心境になりますか？

電子回路に強い人だったら、７セグメントＬＥＤ（右写真）で８を６つ点灯させる回路図をパッと思い浮かべるかもしれません。

私はというと、数字の並びをそのままにして、加減乗除等の記号を入れてみたくなります。本校が恙（つつが）ない平穏な１年であってほしいという願いを込めて、昨日の日付である１１を作ってみることにします。

８×（８－８）＋８８÷８＝１１

シンプルな式があっという間にできあがりました。加減乗除全ての演算記号を１回ずつ入っていて何となく気分がいいです。８８８^＊2

ところで、８８８８８８を素因数分解すると、2³×3×7×11×13×37ですから、約数は、1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 21, 22, 24, 26, 28, 33, 37, 39, 42, 44, 52, 56, 66, 74, 77, 78, 84, 88, 91, 104, 111, 132, 143, 148, 154, 156, 168, 182, 222, 231, 259, 264, 273, 286, 296, 308, 312, 364, 407, 429, 444, 462, 481, 518, 546, 572, 616, 728, 777, 814, 858, 888, 924,･･･（途中略）･･･, 31746, 34188, 37037, 40404, 42328, 63492, 68376, 74074, 80808, 111111, 126984, 148148, 222222, 296296, 444444, 888888の１２８個です。

８のぞろ目の６桁の整数ですから、88や888で割り切れることは一目瞭然ですが、一見割れそうに見えない77や777で割り切れることは素因数分解するまで見破れず、とても意外な感じがしたところでした。

最後に、８のぞろ目を話題にした楽しい計算を２つご紹介します。

まず、これを計算して規則性をみつけてください。

(8×8)＋13＝

(8×88)＋13＝

(8×888)＋13＝

(8×8888)＋13＝

(8×88888)＋13＝

(8×888888)＋13＝

(8×8888888)＋13＝

さて、このパターンはどこまで続くでしょう？手元の電卓で確かめてください。といっても最大１０桁表示でしょうからあと２つしか試し算できないのかもしれませんが･･･。なぜこんなことになるのか秘密に迫ってみるのも一興です。

次の式も超有名で、第１７２回数学検定準２級でも出題されています。

9×9＋7＝88

98×9＋6＝888

987×9＋5＝8888

9876×9＋4＝88888

98765×9＋3＝888888

987654×9＋2＝8888888

9876543×9＋1＝88888888

98765432×9＋0＝888888888
　この次に来る数式を書きなさい。

　ちなみに準２級は高校１年程度です。数学検定は、本校では受検の実績がないようですが、前任校では数学科が受検希望者に指導をしていました。

１級（大学・一般程度）・準１級（高３程度）・２級（高２程度）のいずれかに合格すると、この検定の問題を作成でき、採用された場合は作成料が作問者に支払われます。全国規模の検定試験の出題者になれるというのは凄い経験だと思います。また、高等学校卒業程度認定試験の必修科目「数学」が免除されますが、これは直接関係ないかもしれません。皆さん、受検してみませんか？

話が横道に逸れましたが、答は勿論大丈夫ですよね。正解は、

987654321×9－1＝8888888888　です。

工業高校に学ぶ生徒の皆さん方にとって、数学は将来道具として使いこなしていかない大事な科目です。その意味で数字とはこの先も縁が切れないはずです。そのような皆さん方に、数字を見る目や数的処理のセンスが高まるようにとの願いを込めて、今年もこのサイトを充実していくつもりです。どうぞ宜しくお願いします。

【校長】

^＊1８のぞろ目といえば･･･こんなナンバーのクルマが初詣に行った先の駐車場で、私のクルマの前に駐車していました。桁数が３分の２とはいえ、今日の話題との偶然の一致に一瞬おののきました。

^＊2８８８は、ネットの世界でパチパチパチ（拍手）を意味すると聞いたことがあります。自画自賛？

明けましておめでとうございます。

今年も本校のＨＰをどうぞ宜しくお願いします。

皆様には希望に満ちたいい新年をお迎えになっておられることと思います。

私はというと、学校に通う子がいた頃は、元日の朝は（子どもたちの手前）それなりの緊張感があったように記憶しています。でも、みんな巣立ってしまった今、特に大きな感慨もなく８日後に迫った始業式で何を語りかけようかと、こたつの中でとりとめもなく考えています。

とはいうものの、これから１年間お世話になる新年号の２０１８という数字には何かしらワクワクするものがあります。

２０１８は、昨年の２０１７と違い素数^＊1ではありません。とりあえず素因数分解してみます。偶数ですから２で割れます。

2018 ＝ 2×1009

いきなり、１００９という見慣れない数字が出てきました。各位の和は１０なので３では割れませんし、暗算すれば７や９でも割れないことに気付きます。素数っぽい香りがプンプンします。しかし、これが素数とすぐに見破ることができる人は少ないと思います。でも実は１００９は素数です。ということで、

2018 ＝ 2×1009

でおしまい。従って、約数は1､2､1009､2018の４つしかありません。数学の世界では、４つしか約数がないもの、つまり素因数分解して素数が２個しか出てこない数は、ちょっと特殊な数の仲間に入ります。

調べてみると、一つ前は2005（＝5×401）で１３年ぶり、一つ後は何と来年2019（＝3×673）です。

話は変わりますが、２０１８は面白い性質を持っていることが、整数論の世界では知られています。それは2つの素数の２乗の和になるということです。分かりやすく表現すると

2018＝□²＋△²

と書けるということです。是非、□と△に入る数^＊2を探してみてください。試行錯誤しつつ、ワクワクしながら結構楽しめるはずです。

ちなみに、この一つ前は1970で

1970＝11²＋43²又は　1970＝17²＋41²

であり、一つ後は

2042＝19²＋41²

となります。従って、２０１８年は２つの素数の２乗の和であり、このような年は７０年間で今年だけ！レアな年という意味で何となくワクワクします。

暇つぶしのついでに、今年の素数日も調べてみました。

素数日とは、２０１８年１月２３日を２０１８０１２３のように８桁で表すと素数になる日です。ネット上の「素数一覧」のサイトから拾い出した今年の素数日は次の１８日ありました。

20180123、20180213、20180221、20180311、20180327、

20180509、20180609、20180621、20180627、20180707、

20180731、20180801、20180807、20181019、20181121、

20181209、20181223、20181229

よく見ると、７月３１日と８月１日は連続素数日になっています！

連続素数日の出現頻度について、素数愛好家の研究によると、１８世紀から２２世紀まで、すなわち１８０１年から２２００年までの４００年で５２組あるのだそうです。４００年間で５２組だから、平均すれば７.７年に１回起きる計算になります。それが今年起きるということで、半年以上先のことですが、なんだかワクワクします。

じゃ～あ和暦（平成３０年）ではどうなんだ？と、考えるのは自然なことです。３０＊＊＊＊のような６桁表示の素数日は次のとおりでした。

300109、300119、300221、300301、300317、300319

300323、300331、300413、300427、300511、300623

300719、300721、300809、300821、300823、300929

301013、301027、301123、301127、301211、301219

こちらも全部で24日あります。ただ、2月21日は、何の因縁か西暦、和暦共に素数日です。連続素数日こそありませんでしたが、ますますワクワクしてきました。

ワクワクすると言えば、今年最初の満月が明日１月２日で、２０１８年中では最も大きく見える「スーパームーン」とニュースで報じていました。

それによると、「月の軌道は楕円で、そのため月と地球の距離が変化する。最も近いときと遠いときの差は最大で約４万８０００ｋｍある。月が地球に最も近づくのが近地点で、最も遠ざかるのが遠地点。近地点のタイミングで満月や新月を迎えると『スーパームーン』と呼ばれる」のだとか。

日没の頃、東の空を仰いで、今年初の満月に新年の願いを託してみてはいかがでしょうか。

最後に、本原稿は下の注釈文も合わせて全部で２０１８文字です。

【校長】

^＊１もう何度も素数について取り上げていますが、年の初めですので、その定義をおさらいしておきます。素数とは2、3、5、7、11、13、･･･のように１と自分自身以外では割り切れない数です。

最近、「世界は素数でできている」（角川新書　小島寛之著）という本を読みました。その本の序文にうまい説明があったので引用してご紹介します。

　　　素数とは、「割り切れない」数です。どのくらい割り切れないかというと、1と自分自身以外では割り切れないのです。だから、ある意味では、うとましい数です。例えば、37個のチョコがあるとしましょう。このチョコを同数で分け合うためには、37人で1個ずつ分け合うか、あるいは、1人で全部食べるしかありません。37が素数だからです。まったく融通がききません。チョコの個数が36個であれば、たくさんの柔軟性が生まれます。2人でも3人でも4人でも6人でも、あるいは12人でも18人でも等分に分け合うことができるからです。

^＊2答　○＝１３、△＝４３　又は○＝４３、△＝１３