興味深い性質を持つ回文数
汗ばむ陽気の土日でしたが、生徒の皆さんはいかがお過ごしでしたか?
私は、昨日鹿児島市の平和リース球場で行われた第144回九州地区高等学校野球大会2回戦の応援に行きました。今年度新たに25名の新入部員を迎え、グラウンドの練習もますます熱がこもっている野球部、強豪校である福岡大学附属大濠高校相手にどのような戦いを繰り広げるのかと大変楽しみにしながら向かったところでした。
三回1死一、三塁で内野ゴロの間に1点を先制したものの五回に1点を失ってしまい、1対1のまま延長戦になりました。息詰まる投手戦を制したのは大濠で、十回表にホームランなどで一挙4点を入れられ結局1対5で敗れました。
選手の皆さん、白熱した試合を見せていただきありがとうございます。この後、RKK旗、NHK旗、夏の予選と続きます。見つかった課題を分析して捲土重来を期待します。また、第1試合で北九州の真颯(しんせい)館高校を相手に9対6で勝利し、8強入りを決めていた熊本西高校の選手の皆さんも五回まで応援をしていただきました。学校を代表してお礼を申し上げます。
写真には、飛行機雲の跡が沢山残っています。スマホのアプリ(flightradar24)で調べたところ、大阪や福岡と沖縄(那覇空港)を往復する国内線の他に、アンカレッジやバンクーバ(カナダ)、ロサンゼルス等から香港やタイペイ、シンガポール等に向かう国際線が頻繁に鹿児島上空を飛んでいることが分かりました。桜島の雄大な眺めとともに、日常と違う風景を久々に見て楽しい一日でした。
話は大きく変わりますが、昨年12月9日の記事で総アクセス数 1248421 という回文数を取りあげていました。これは初めの4項が初項1、公比2の等比数列でした。それからおよそ4ヶ月半後、またしても面白い回文数(右から読んでも左から読んでも同じになる数)が現れました。
私は夢の中でしたが、多分真夜中の午前1時20分頃に総アクセス数 1357531 を通過したはずです。これは、初めの4項が初項1、公差2の等差数列になっています。
これは素数でしょうか?
2002÷11=182のように、偶数桁の回文数は必ず11で割り切れるという興味深い性質がありますが、これは7桁で奇数桁です。ひょっとして素数かと胸が高まります。
でも違います。7で割り切れます。7の倍数の見分け方は昨年9月1日の記事で触れているとおり*ですが、3桁ずつ区切ってまとまりの和の差(1+531-357)を求めると392で、これは7の倍数(392÷7=56)になっています。ということで素因数分解すると、
1357531=7×19×59×173
従ってその約数は、1, 7, 19, 59, 133, 173, 413, 1121, 1211, 3287, 7847, 10207, 23009, 71449, 193933, 1357531の16個です。
ところで、7×173 の結果 1211 と 19×59 の結果 1121 を見て何か気付きませんか?
1357531=7×173×19×59=1211×1121
となって、なんと4桁×4桁に分解したらそれも回文数の形になっています。割と有名な事実ですが、知らなかった生徒の皆さんも多いかもしれません。いくつか例示してみます。
11×11=121 12×21=252 22×22=484
101×101=10201 102×201=20502
111×111=12321 1001×1001=1002001
1002×2001=2005002
1102×2011=2216122 2002×2002=4008004
・・・・
このように回文数は、入試に出ることはあまりないかもしれませんが、興味深い性質を持っていることが多く、趣味の数学の分野ではよく研究の対象になっています。
最後に、今日取り上げた1357531について、数字の並びをそのままにして、加減乗除等の記号を入れて、この数字が現れた日にちであり、4月22日をそのまま並べた422を作ってみます。
(-1+3!)×5!!!+7×53+1=422→4月22日
皆さんだったらどのような式を作りますか?
この小町算、やり始めると困ったことにポテチと一緒で「やめられない・止まらない」なんですよね、これが(..;)
【校長】
*7の倍数の見つけ方(昨年9月1日の記事より引用)
証明は省略しますが、次のように面倒です。7で割った方がよっぽど速いので7で割ることをお勧めします。
①例えば、数字を (abcdefghijkl) とします。
(<例> a=6, b=7, c=3 の場合 (abc) は 673 すなわち 六百七十三 を表します)
②この数字を、1の位から3桁ごとに分けていきます。
abc,def,ghi,jkl
③3桁の塊(かたまり)を一つ飛ばしにグループ化します。今回は色分けして赤と青のグループにします。
abc,def,ghi,jkl
④グループ毎に和を求めて、その差を計算します。 ( abc + ghi ) – ( def + jkl )
(もしも、青の和の方が 赤の和よりも大きいのであれば、青 – 赤 の計算をします)
⑤この 差 が 7の倍数であれば、もとの abcdefghijkl は7の倍数です。
<検証> 813297496970 という数字の場合
(813+496)–(297+970)
=1309 – 1267
=42
(7の倍数なので7で割り切れる。実際、813297496970÷7=16185356710)
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